Notes

第6章 中心力场

6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

中心力场

中心力场的特点

势函数只与 $r$ 有关

中心力场中的问题常使用球坐标系 $(r,\theta,\varphi)$ 来描述，势场 $V$ 只是与原点距离 $r$ 的函数，而与角变量 $\theta,\varphi$ （即方向）无关，具有转动对称性。故体系的Hamilton量为

$$\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2\mu} + V(r)$$

轨道角动量守恒

直接考虑角动量 $\hat{\vec{L}}$ 随时间的演化

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \hat{\vec{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}}) \ \ \ = \frac{\mathrm{d}\hat{\vec{r}}}{\mathrm{d}t} \times \hat{\vec{p}} + \hat{\vec{r}} \times \frac{\mathrm{d}\hat{\vec{p}}}{\mathrm{d}t} \ \ \ = \frac{\hat{\vec{p}}}{\mu} \times \hat{\vec{p}} + \hat{\vec{r}} \times [-\nabla V(r)] \ \ \ = 0 - \hat{\vec{r}} \times \vec{e}_r \frac{\mathrm{d}V(r)}{\mathrm{d}r} \ \ \ = 0$$

故角动量守恒。同时根据 $\vec{L} \cdot \vec{r} = \vec{L} \cdot \vec{p} = 0$ ，而 $\vec{L}$ 是守恒量，其方向不随时间变化，可知 $\vec{r},$ 与 $\vec{p},$ 始终在与 $\vec{L}$ 垂直的平面上，故中心力场中的粒子运动必为平面运动，平面的法向即为 $\vec{L}$ 的方向。

也可以直接从对易关系来证明角动量守恒：

根据 $[\hat{L}${\alpha} , \hat{p}{\beta}] = \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \mathrm{i} \hbar \hat{p}{\gamma}[L^α​,p^​β​]=εαβγ​iℏp^​γ​ 与 $[\hat{p}${\alpha},\hat{p}{\beta}] = 0 ，可知 $[\hat{L}${\alpha},\hat{p}_{\beta}^2] = 0 ，故 $[\hat{\vec{L}},\hat{\vec{p}}^2] = 0$ ；又因为 $\hat{\vec{L}}$ 只与角变量 $(\theta,\varphi)$ 有关，所以 $[\hat{\vec{L}},V(r)] = 0$ 。综上， $[\hat{\vec{L}},\hat{H}] = 0$ 。

常见的中心力场

• 自由粒子： $V(r) = 0$

• 谐振子势： $V(r) \propto r^2$

• 线性中心势： $V(r) \propto r$

• 对数中心势： $V(r) \propto \ln r$

• 球方势： $V(r) = \begin{cases} 0 &, r<a \ V_0 &, r \ge a \end{cases} \kern 1em (V_0可取+\infty,即无限深球方势阱)$

• 库仑势： $V(r) \propto \frac{1}{r}$

• 汤川势： $V(r) \propto \frac{1}{r} \mathrm{e}^{-\alpha r}$

• Woods-Saxon势： $V(r) \propto V_0 / (1 + \mathrm{e}^{r-\frac{R}{a}})$

中心力场中力学量完全集的选择

中心力场中力学量完全集一般选为 ${\hat{H},\hat{L}^2,\hat{L}$z}{H^,L^2,L^z​} （也是守恒量完全集），用 $\psi${nlm} 代表共同本征态，本征值问题可表示为

$$\hat{H}\ \psi_{nlm} = E_{nl}\ \psi_{nlm} \ \hat{L}^2\ \psi_{nlm} = l(l+1)\hbar^2\ \psi_{nlm} \ \hat{L}$$z\ \psi{nlm} = m\hbar\ \psi_{nlm}

径向方程及其求解

球坐标系中的Hamilton量

设质量为 $\mu$ 的粒子在中心势 $V(r)$ 中运动，则Hamilton量可表示为

$$\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2\mu} + V(r) = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V(r)$$

其中

$$\nabla^2 = \nabla_r^2 + \frac{1}{r^2} \nabla_{\theta\varphi}^2$$

$$\nabla_r^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial}{\partial r} = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r = -\frac{\hat{p}_r^2}{\hbar^2}$$

$$\nabla_{\theta\varphi}^2 = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} = -\frac{\hat{L}^2}{\hbar^2}$$

故Hamilton算符可表示为

$$\hat{H} = \frac{\hat{p}_r^2}{2\mu} + \frac{\hat{L}^2}{2\mu r^2} + V(r)$$

其中等号右侧第一项为径向动能，第二项为离心势能，后两项之和为有效势

$$V_{eff} = \frac{\hat{L}^2}{2\mu r^2} + V(r)$$

径向方程

径向方程的导出

能量本征方程可表示为

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r + \frac{\hat{L}^2}{2\mu r^2} + V(r) \right]\ \psi(r,\theta,\varphi) = E\ \psi(r,\theta,\varphi)$$

选取守恒量完全集为 ${\hat{H},\hat{L}^2,\hat{L}_z}$ ，故能量本征方程的解也可选为 ${\hat{L}^2,\hat{L}_z}$ 的共同本征态，因为势函数 $V(r)$ 球对称，故可以分离变量，即

$$\psi(r,\theta,\varphi) = R_l(r) \mathrm{Y}_{lm}(\theta,\phi)$$

其中 $l=0,1,2,\cdots;m=-l,-l+1,\cdots,l-1,l$ ，代入能量本征方程，可得

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r + \frac{\hat{L}^2}{2\mu r^2} + V(r) \right]\ R_l(r) \mathrm{Y}$${lm}(\theta,\phi) = E\ R_l(r) \mathrm{Y}{lm}(\theta,\phi) \ \Downarrow \ \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} r + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2} + V(r) \right]\ R_l(r) = E\ R_l(r) \ \Downarrow \ \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} \left( r R_l(r) \right) + \left[\frac{2\mu}{\hbar^2}\left( E - V(r) \right) -\frac{l(l+1)}{r^2} \right]\ R_l(r) = 0

令

$$\chi_l(r) = r R_l(r)$$

则上述方程可进一步简化为

$$\chi_l''(r) + \left[\frac{2\mu}{\hbar^2}\left( E - V(r) \right) -\frac{l(l+1)}{r^2} \right]\ \chi_l(r) = 0$$

此即中心力场中粒子需要满足的径向方程。

讨论

• 波函数 $\chi_l(r)$ 与轨道角动量量子数 $l$ 有关，故能级与 $l$ 有关，这是在方程中显式出现的，即离心势能产生的影响。按原子光谱的习惯，把 $l=0,1,2,3,4,5,6,\cdots$ 的态分别记为 $s,p,d,f,g,h,i,\cdots$ 。

• 波函数 $\chi_l(r)$ 及能级与磁量子数 $m$ 无关，表明能级一般是有简并的，对于给定的 $l$ ，有 $2l+1$ 个可能的 $m$ 取值，因此中心力场中粒子能级的简并度一般为 $2l+1$ 。

• 与一维势 $V(x)$ 相比，中心势 $V(r)$ 的定义域为 $r \ge 0$ 而非 $-\infty < x < +\infty$ 。

解在 $r\to0$ 的渐进行为

假定势函数 $V(r)$ 满足

$$\lim_{r\to0} r^2 V(r) = 0$$

（通常遇到的中心力场均满足此条件）则波函数应满足

$$\lim_{r\to0} R_l(r) \propto r^l, \kern 1em \lim_{r\to0} \chi_l(r) \propto r^{l+1}$$

故

$$\chi_l(0) = 0$$

证明

首先考虑波函数的统计诠释，粒子出现在半径为 $r\to0$ 的球体内的概率

$$\int_0^r R_l^2(r) r^2 \mathrm{d}r \sim r^3 R_l^2(r) \to 0$$

故若 $R_l(r) \propto r^s$ ，则有 $s>-\frac32$ 。

当 $r\to0$ 时， $(E-V_0)$ 项绝对值要远小于其他项，此时径向方程可渐进的表示为

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} R_l(r) + \frac{2}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} R_l(r) -\frac{l(l+1)}{r^2} R_l(r) = 0$$

此方程为欧拉方程，将 $R_l(r) \propto r^s$ 代入可解得

$$R_l(r) \propto r^l \kern 1em 或 \kern 1em R_l(r) \propto r^{-(l+1)}$$

当 $l\ge1$ 时， $-(l+1) \le -2 < -\frac32$ ，显然不满足条件；当 $l=0$ 时，因为 $\nabla^2 \frac{1}{r} = -4\pi\delta(\vec{r})$ ，$R_l(r) \propto \frac{1}{r}$ 对应的解在 $r=0$ 处并不满足薛定谔方程。故只有

$$\lim_{r\to0} R_l(r) \propto r^l$$

的解才可以接受。

两体问题化为单体问题

考虑两个质量分别为 $m_1,m_2$ 的粒子，其相互作用 $V(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|) = V(r)$ 只依赖于二者的相对距离，此时该体系的Schrödinger方程为

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m_1} \nabla_1^2 - \frac{\hbar^2}{2m_2} \nabla_2^2 + V(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|) \right] \psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t)$$

引入质心坐标

$$\vec{R} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2} = [X,Y,Z]^T$$

相对坐标

$$\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = [x,y,z]^T$$

质心质量

$$M = m_1 + m_2$$

约化质量

$$\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$$

此时有

$$\nabla_R^2 = \frac{\partial^2}{\partial X^2} + \frac{\partial^2}{\partial Y^2} + \frac{\partial^2}{\partial Z^2} ,\kern 1em \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \ \ \ \frac{1}{m_1} \nabla_1^2 + \frac{1}{m_2} \nabla_2^2 = \frac{1}{M} \nabla_R^2 + \frac{1}{\mu} \nabla^2$$

故Schrödinger方程可化为

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{R},\vec{r},t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2M} \nabla_R^2 - \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V(r) \right] \psi(\vec{R},\vec{r},t)$$

该方程可分离变量，设

$$\psi(\vec{R},\vec{r},t) = \phi(\vec{R})\ \varphi(\vec{r})\ T(t)$$

则原方程可分解为三个方程

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} T(t) = E_T\ T(t) \ \ \ -\frac{\hbar^2}{2M} \nabla_R^2\ \phi(\vec{R}) = E_C\ \phi(\vec{R}) \ \ \ \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2\ + V(r) \right] \varphi(\vec{r}) = E\ \varphi(\vec{r})$$

其中 $E_T$ 为总能量， $E_C$ 为质心运动能量， $E$ 为相对运动能量，三者满足 $E_T = E_C + E$ 。

第一个方程可求出含时间部分的解为 $T(t) = C \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_T\ t}$ 。

第二个方程为质心运动状态的波函数所满足的方程，质心以质量 $M$ 、能量为 $E_C$ 的自由粒子的方式运动，即平面波，与内部性质无关。

第三个方程为相对运动方程，其求解可参照上述对中心力场问题的分析。

自然单位

采用自然单位，就是以体系的几个基本的特征量作为相应的物理量的单位。在具体的计算中，可令相应的物理量或参数为 $1$ ，因而在运算过程中这些参数不再出现。我们只需在最后的计算结果中按照各物理量的量纲添上相应的单位即可。

自然单位的优点是，一方面运算过程的书写可以简化，另一方面是使人对体系的各种特征量的数量级有清楚的印象。此外，使用自然单位还便于研究不同体系的数学处理之间可能存在的密切关系，例如，研究各向同性谐振子势和Coulomb势中粒子的能量本征值和本征函数的关系。

常见的自然单位如下表所示：

6.2 无限深球方势阱

模型描述与结论

模型描述

考虑质量为 $\mu$ 的粒子在半径为 $a$ 的球形匣子中运动，相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，即

$$V(r)=\begin{cases} 0, & r<a \ \infty, & r>a \end{cases}$$

一般结论

该势阱中只存在束缚态，粒子的能量本征值为

$$E_{n_rl} = \frac{\hbar^2}{2\mu a^2} \xi_{n_rl}^2 \kern 2em (n_r=0,1,2,\cdots)$$

相应的径向本征函数为

$$R_{n_rl}(r) = \begin{cases} C_{n_rl}\ \mathrm{j}$$l(k{n_rl}\ r) ,& 0\le r<a \ 0, & r>a \end{cases} \kern 2em (k_{n_rl} = \xi_{n_rl} / a)

其中 $\mathrm{j}$ljl​ 是球Bessel函数，令 $\mathrm{j}$l(\xi) = 0jl​(ξ)=0 的根依次记为 $\xi${n_rl} \kern 1em (n_r=0,1,2,\cdots) ，较低的一些能级的 $\xi${n_rl} 如下表所示

径向本征函数中归一化系数

$$C_{n_rl} = \left[ -\frac{2}{a^3 \mathrm{j}$${l-1}(k{n_rl}\ a) \mathrm{j}{l+1}(k{n_rl}\ a)} \right]^{\frac{1}{2}}

归一化公式为

$$\int_0^a R_{n_rl}(r)\ R_{n_r'l}(r)\ r^2 \mathrm{d}r = \delta_{n_rn_r'}$$

$s$ 态的结论

对于 $l=0$ 的情况，即 $s$ 态，结果可以简单的表示为

$$E_{n_r0} = \frac{\pi^2\hbar^2(n_r+1)^2}{2\mu a^2} \kern 2em (n_r=0,1,2,\cdots)$$

$$\chi_{n_r0}(r) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{(n_r+1)\pi r}{a}, & 0\le r <a \ 0, & r>a \end{cases}$$

$$\int_0^a \chi_{n_r0}(r)\ \chi_{n_r'0}(r)\ \mathrm{d}r = \delta_{n_rn_r'}$$

模型求解

在势阱外（ $r>a$ ），显然有

$$R(r) = 0$$

在势阱内（ $r<a$ ），先考虑 $s$ 态（ $l=0$ ），径向方程为

$$\chi_0''(r) + \frac{2\mu E}{\hbar^2} \chi_0(r) = 0$$

记 $k = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}} \kern 1em (E>0)$ ，则

$$\chi_0''(r) + k^2 \chi_0(r) = 0$$

解得

$$\chi_{0}(r) = A \sin(kr) + B \cos(kr)$$

边条件为

$$\chi_0(0) = \chi_0(a) = 0$$

则可得

$$B = 0 \ ka = (n_r+1)\pi \kern 2em (n_r=0,1,2,\cdots)$$

故粒子的能量本征值

$$E_{n_r0} = \frac{\pi^2\hbar^2(n_r+1)^2}{2\mu a^2} \kern 2em (n_r=0,1,2,\cdots)$$

归一化的波函数为

$$\chi_{n_r0}(r) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{(n_r+1)\pi r}{a} \kern 2em (0\le r <a)$$

其次考虑 $l\ne0$ 的情况，此时径向方程可表示为

$$R_l''(r) + \frac{2}{r} R_l'(r) + \left[k^2 -\frac{l(l+1)}{r^2} \right]\ R_l(r) = 0$$

边条件为

$$R_l(a) = 0$$

引入无量纲变量 $\rho = kr$ ，则方程可化为

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\rho^2} R_l + \frac{2}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho} R_l + \left[1 -\frac{l(l+1)}{\rho^2} \right]\ R_l = 0$$

此即球Bessel方程，其解可取为球Bessel函数 $\mathrm{j}_l(\rho)$ 或球Neumann函数 $\mathrm{n}_l(\rho)$ ，它们在 $r\to0$ 时的渐进行为为

$$\mathrm{j}_l(\rho) \to \frac{\rho^l}{(2l+1)!!} \ \ \ \mathrm{n}_l(\rho) \to -\frac{(2l-1)!!}{\rho^{l+1}}$$

关于Bessel方程的相关知识，请参考课本附录A6，亦可参考陈酌老师的课件，在此不再赘述。

考虑到 $\rho = 0$ 点， $\mathrm{n}_l(\rho)$ 解是物理上不能接受的，因此该方程的解应取为

$$R_l(r) \propto \mathrm{j}_l(kr)$$

根据边条件 $R_l(a) = 0$ ，有

$$\mathrm{j}_l(ka) = 0$$

故当 $a$ 取有限值时， $k$ 只能取一系列离散的值，令 $\mathrm{j}$l(\xi) = 0jl​(ξ)=0 的根依次记为 $\xi${n_rl} \kern 1em (n_r=0,1,2,\cdots) ，则粒子的能量本征值为

$$E_{n_rl} = \frac{\hbar^2}{2\mu a^2} \xi_{n_rl}^2 \kern 2em (n_r=0,1,2,\cdots)$$

相应的径向本征函数为

$$R_{n_rl}(r) = C_{n_rl}\ \mathrm{j}$$l(k{n_rl}\ r) \kern 2em (0\le r<a) \kern 2em (k_{n_rl} = \xi_{n_rl} / a)

归一化系数

$$C_{n_rl} = \left[ -\frac{2}{a^3 \mathrm{j}$${l-1}(k{n_rl}\ a) \mathrm{j}{l+1}(k{n_rl}\ a)} \right]^{\frac{1}{2}}

归一化公式为

$$\int_0^a R_{n_rl}(r)\ R_{n_r'l}(r)\ r^2 \mathrm{d}r = \delta_{n_rn_r'}$$

$a\to\infty$ 的特殊情况

当 $a\to\infty$ 时，相当于粒子的运动无任何限制，即为自由粒子。考虑到

$$\lim_{\rho\to\infty} \mathrm{j}_l(\rho) = \frac{1}{\rho} \sin(\rho - \frac{l\pi}{2}) \to 0$$

故边条件自动满足，所以 $k$ （或 $E$ ）将不再受到限制，即能量连续变化，在此情况下，径向波函数的选择及归一化公式如下

$$R_{kl}(r) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} k\ \mathrm{j}_l(kr)$$

$$\int_0^{+\infty} R_{kl}(r)\ R_{k'l}(r)\ r^2 \mathrm{d}r = \delta(k-k')$$

6.3 三维各向同性谐振子

模型描述与结论

考虑质量为 $\mu$ 的粒子在三维各向同性谐振子势 $V(r)$ 中运动，

$$V(r) = \frac12 \mu \omega^2 r^2$$

该势中只存在束缚态，粒子的能量本征值为

$$E_N = (N+\frac32) \hbar\omega \kern 2em (N=0,1,2,\cdots) \ \ \ = (2n_r + l + \frac32) \hbar\omega \kern 2em (n_r,l = 0,1,2,\cdots)$$

记 $\alpha = \sqrt{\frac{\mu\omega}{\hbar}}$ ，相应的径向本征波函数为

$$R_{n_rl}(r) = \alpha^{\frac32} \left[ \frac{2^{l+2-n_r}(2l+2n_r+1)!!}{\sqrt{\pi}n_r![(2l+1)!!]^2} \right]^{\frac12} (\alpha r)^l\ \mathrm{e}^{-\frac{\alpha^2r^2}{2}}\ \mathrm{F}(-n_r,l+\frac32,\alpha^2r^2)$$

其中 $\mathrm{F}(\alpha,\gamma,\xi)$ 是合流超几何函数。归一化公式为

$$\int_0^{+\infty} R_{n_rl}(r)\ R_{n_r'l}(r)\ r^2 \mathrm{d}r = \delta_{n_rn_r'}$$

模型求解

径向方程为

$$R_l''(r) + \frac{2}{r} R_l'(r) + \left[\frac{2\mu}{\hbar^2} \left(E-\frac12\mu\omega^2r^2\right) - \frac{l(l+1)}{r^2} \right]\ R_l(r) = 0$$

采用自然单位，令 $\hbar=\mu=\omega=1$ ，方程化为

$$R_l''(r) + \frac{2}{r} R_l'(r) + \left[2E - r^2 - \frac{l(l+1)}{r^2} \right]\ R_l(r) = 0$$

考虑对方程做渐进分析以求出解的因子：

当 $r\to0$ 时，有

$$R_l(r) \sim r^l$$

当 $r\to\infty$ 时，方程可渐进的表示为

$$R_l''(r) - r^2 R_l(r) = 0$$

当 $R_l(r) \sim \mathrm{e}^{\pm r^2/2}$ 时， $R_l'(r) \sim \pm r \mathrm{e}^{\pm r^2/2}$ ， $R_l''(r) \sim r^2 \mathrm{e}^{\pm r^2/2} \pm \mathrm{e}^{\pm r^2/2} \sim r^2 \mathrm{e}^{\pm r^2/2}$ ，故 $R_l''(r) - r^2 R_l(r) \sim 0$ 。 此时有

$$R_l(r) \sim \mathrm{e}^{\pm r^2/2}$$

而 $\mathrm{e}^{r^2/2}$ 不满足束缚态边条件，故

$$R_l(r) \sim \mathrm{e}^{-r^2/2}$$

综上，可设

$$R_l(r) = r^l \mathrm{e}^{-\frac{r^2}{2}} u(r)$$

代入方程，可得

$$u'' + \frac{2}{r}(l+1-r^2)u' + [2E-(2l+3)]u = 0$$

令 $\xi=r^2$ ，上式可化为

$$\xi \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\xi^2} + (\gamma-\xi) \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\xi} - \alpha u = 0$$

该方程为合流超几何方程，其中参数

$$\alpha = \frac12(l+\frac32-E) \ \ \ \gamma = l + \frac32 \kern 0.5em (\ne\text{整数})$$

合流超几何方程的求解过程如下：

先考虑方程的解在 $\xi\to0$ 附近的行为，此时方程可近似表示为

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\xi^2} + \frac{\gamma}{\xi} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\xi} - \frac{\alpha}{\xi} u = 0$$

将 $u=\xi^s$ 代入，可得

$$s(s-1) \xi^{s-2} + \gamma s \xi^{s-2} - \alpha \xi^{s-1} = 0$$

由于 $\xi\to0$ ，故 $\alpha \xi^{s-1}$ 相较于另两项为小量，则

$$s(s-1) + \gamma s = 0$$

解得 $s_1 = 0, s_2 = 1-\gamma$ ，先考虑 $s_1=0$ 对应的级数解，即以 $\xi^0$ 为首项，

$$u = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \xi^k$$

代入原方程可得

$$\sum_{k=0}^{+\infty} \left[ k(k-1) c_k \xi^{k-1} + (\gamma-\xi) k c_k \xi^{k-1} - \alpha c_k \xi^k \right] = 0 \ \Downarrow \ \sum_{k=0}^{+\infty} \left[ k(k-1+\gamma) c_k \xi^{k-1} - (\alpha+k) c_k \xi^k \right] = 0 \ \Downarrow \ k(k-1+\gamma) c_k = (\alpha+k-1) c_{k-1} \ \Downarrow \ c_k = \frac{\alpha+k-1}{(\gamma+k-1)k} c_{k-1}$$

通过 $c_0$ ，即可得到所有系数

$$c_k = \frac{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+k-1)}{\gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+k-1)} \frac{1}{k!} c_0$$

由于 $c_0$ 任意，可取 $c_0=1$ ，则可得到级数解，记为合流超几何函数 $\mathrm{F}(\alpha,\gamma,\xi)$ ：

$$u_1 = \mathrm{F}(\alpha,\gamma,\xi) = 1 + \frac{\alpha}{\gamma}\xi + \frac{\alpha(\alpha+1)}{\gamma(\gamma+1)}\frac{\xi^2}{2!} + \cdots \ \ \ = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\alpha)_k}{(\gamma)_k} \frac{\xi^k}{k!}$$

其中

$$(\alpha)_k = \alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+k-1) \ (\gamma)_k = \gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+k-1)$$

显然，此级数解只当参数 $\gamma$ 不为零或负整数时才有意义。

当两根之差 $s_2 - s_1 = 1-\gamma$ 不为整数时，另一个解与上述解是线性无关的，其可表示为

$$u_2 = \xi^{1-\gamma} y$$

代入原方程，可得

$$\xi \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}\xi^2} + (2-\gamma-\xi) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\xi} - (\alpha-\gamma+1) y = 0$$

其仍为合流超几何方程，只是参数不同，其解可表示为 $y=\mathrm{F}(\alpha-\gamma+1,2-\gamma,\xi)$ ，故原方程第二个级数解为

$$u_2 = \xi^{1-\gamma}\ \mathrm{F}(\alpha-\gamma+1,2-\gamma,\xi)$$

显然，此级数解只当 $2-\gamma$ 不为零或负整数时才有意义。

回到原问题，由于 $\xi^{1-\gamma} = r^{-2l-1}$ ，故 $u_2$ 解是物理上不能接受的，故解只能取为 $u_1$ 。

当 $k\to\infty$ 时，有 $c_k/c_{k-1} \sim 1/k$ ，该比值与 $e^\xi$ 的幂级数展开系数的比值相同，因此

$$\lim_{\xi\to\infty} \mathrm{F}(\alpha,\gamma,\xi) \sim e^{\xi}$$

这不满足束缚态边条件，故该级数必须中断为一个多项式，通过系数的递推关系式，可得要求 $\exist k \in \mathbb{N}_+$ 使得 $\alpha+k-1=0$ ，此即要求 $\alpha$ 为零或负整数，即

$$\alpha = \frac12(l+\frac32-E) = -n_r \kern 2em (n_r=0,1,2,\cdots)$$

而这就是要求 $E=(2n_r+l+\frac32)$ ，添上能量的自然单位，得

$$E=(2n_r+l+\frac32)\hbar\omega \kern 2em (n_r,l = 0,1,2,\cdots)$$

令 $N=2n_r+l$ ，则得到能量本征值为

$$E = E_N = (N+\frac32)\hbar\omega \kern 2em (N=0,1,2,\cdots)$$

与之相应的径向波函数（添上长度单位 $\alpha=\sqrt{\frac{\mu\omega}{\hbar}}$ ，注意此 $\alpha$ 与上述合流超几何函数中的不是同一个）为

$$R_{n_rl}(r) \propto r^l\ \mathrm{e}^{-\frac{\alpha^2r^2}{2}}\ \mathrm{F}(-n_r,l+\frac32,\alpha^2r^2)$$

经归一化后为

$$R_{n_rl}(r) = \alpha^{\frac32} \left[ \frac{2^{l+2-n_r}(2l+2n_r+1)!!}{\sqrt{\pi}n_r![(2l+1)!!]^2} \right]^{\frac12} (\alpha r)^l\ \mathrm{e}^{-\frac{\alpha^2r^2}{2}}\ \mathrm{F}(-n_r,l+\frac32,\alpha^2r^2)$$

归一化公式为

$$\int_0^{+\infty} R_{n_rl}(r)\ R_{n_r'l}(r)\ r^2 \mathrm{d}r = \delta_{n_rn_r'}$$

讨论

能级简并度

对于给定的 $N$ 和 $l$ ，有 $2l+1$ 个本征态，

当 $N$ 为偶数时，$l=N-2n_r$ 的取值可为

$$l = N,N-2,N-4,\cdots,2,0$$

故能级简并度

$$f_N = \sum_{l} (2l+1) = \sum_{i=0}^{N/2} (2\times2i+1) = \frac12(N+1)(N+2)$$

同理，当 $N$ 为奇数时， $l=N-2n_r$ 的取值可为

$$l = N,N-2,N-4,\cdots,3,1$$